¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

Finita o infinita

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita

Ejemplos

{1, 2, 3, 4 ,…} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, …} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32, …} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre “alfredo”
{0, 1, 0, 1, 0, 1, …} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

En orden

Cuando decimos que los términos están “en orden”, ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás… o alternando… ¡o el que quieras!
Una sucesión es muy parecida a un conjuntocache, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).

Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, …} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}

La regla

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, …} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

{3, 5, 7, 9, ...}

¡Pero la regla debería ser una fórmula!

Decir que “empieza por 3 y salta 2 cada vez” no nos dice cómo se calcula el:

  • 10º término,
  • 100º término, o
  • n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).
Así que queremos una fórmula con “n” dentro (donde n será la posición que tiene el término).

Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, …}?

Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser “2 × n”. Vamos a verlo:

Probamos la regla: 2n
nTérminoPrueba
132n = 2×1 = 2
252n = 2×2 = 4
372n = 2×3 = 6

Esto casi funciona… pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:

Probamos la regla: 2n+1
nTérminoRegla
132n+1 = 2×1 + 1 = 3
252n+1 = 2×+ 1 = 5
372n+1 = 2×3 + 1 = 7

¡Funciona!
Así que en vez de decir “empieza por 3 y salta 2 cada vez” escribimos la regla como

La regla para {3, 5, 7, 9, …} es: 2n+1

Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201

Notación

Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:

Posición del término

Es normal usar xn para los términos:

  • xn es el término
  • n es la posición de ese término
Así que para hablar del “quinto término” sólo tienes que escribir: x5

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, …} en forma de ecuación, así:

xn = 2n+1

Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:

  
x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21

¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?
Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:

Tipos de sucesiones

Sucesiones aritméticas

El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,…}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.

Ejemplos

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, …
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n-2
3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, …
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.
La regla es xn = 5n-2

Sucesiones geométricas

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.

Ejemplos:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, …
Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es xn = 2n
3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, …
Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n

 

4, 2, 1, 0.5, 0.25, …
Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.
La regla es xn = 4 × 2-n

 

Sucesiones especiales

cacheNúmeros triangulares

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, …

Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.

números triangulares
Pero es más fácil usar la regla

xn = n(n+1)/2

Ejemplo:

  • El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,
  • y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21

Números cuadrados

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, …

El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.

La regla es xn = n2

Números cúbicos

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, …

El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.

La regla es xn = n3

Números de Fibonaccicache

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)

La regla es xn = xn-1 + xn-2

Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.
Por ejemplo el 6º término se calcularía así:

x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8

Series

“Sucesiones” y “series” pueden parecer la misma cosa… pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.
Sucesión: {1,2,3,4}
Serie: 1+2+3+4 = 10
Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa “súmalos todos”:

suma de 1 a 4Esto significa “suma de 1 a 4” = 10
suma 2n+1Esto significa “suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1

Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,…} = 3+5+7+9 = 24


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Sucesiones – Encontrar la regla

Para encontrar un número que falta en una sucesión, primero tienes que conocer la regla

Definición rápida de sucesión

Lee sobre sucesiones y seriescache para conocer el tema bien, pero por ahora:

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) que están en algún orden.

Cada número en la sucesión es un término (a veces “elemento” o “miembro”):

Encontrar números que faltan

Para calcular un número que falta primero necesitas saber la regla que sigue la sucesión.
A veces basta con mirar los números y ver el patrón.

Ejemplo: 1, 4, 9, 16, ?

Respuesta: son cuadradoscache (12=1, 22=4, 32=9, 42=16, …)
Regla: xn = n2
Sucesión: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …

¿Has visto cómo escribimos la regla con “x” y “n”?
xn significa “el término en la posición n”, así que el tercer término sería x3
Y también hemos usado “n” en la fórmula, así que para el tercer término hacemos 32 = 9. Esto se puede escribir

x3 = 32 = 9

Cuando sepamos la regla, la podemos usar para calcular cualquier término, por ejemplo término 25º se calcula “poniendo dentro” 25 donde haya una n.

x25 = 252 = 625

Qué tal si vemos otro ejemplo:

Ejemplo: 3, 5, 8, 13, 21, ?

Son la suma de los dos que están delante, o sea 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13 y sigue así (en realidad es parte de la Sucesión de Fibonaccicache):
Regla: xn = xn-1 + xn-2
Sucesión: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

¿Qué significa xn-1 aquí? Bueno, sólo significa “el término anterior” porque la posición (n-1) es uno menos que (n).
Entonces, si n es 6, será xn = x6 (el 6º término) y xn-1 = x6-1 = x5 (el 5º término)
Vamos a aplicar la regla al 6º término:

x6 = x6-1 + x6-2
x6 = x5 + x4

Ya sabemos que el 4º es 13, y que el 5º es 21, así que la respuesta es:

x6 = 21 + 13 = 34

Muy simple… sólo pon números en lugar de “n”

Muchas reglas

Uno de los problemas que hay en “encontrar el siguiente término” de una sucesión es que las matemáticas son tan potentes que siempre hay más de una regla que vale.

¿Cuál es el siguiente número de la sucesión 1, 2, 4, 7, ?

Hay (por lo menos) tres soluciones:

Solución 1: suma 1, después suma 2, 3, 4, …

Entonces, 1+1=2, 2+2=4, 4+3=7, 7+4=11, etc…
Regla: xn = n(n-1)/2 + 1
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, …
(La regla parece complicada, pero funciona)

Solución 2: suma los dos números anteriores más 1:

Regla: xn = xn-1 + xn-2 + 1
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, …

Solución 3: suma los tres números anteriores

Regla: xn = xn-1 + xn-2 + xn-3
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, …

Así que tenemos tres soluciones razonables, y cada una da una sucesión diferente.
¿Cuál es la correcta? Todas son correctas.

carreraY habrá otras soluciones.
Hey, puede ser una lista de números ganadores… así que el siguiente será… ¡cualquiera!

La regla más simple

Cuando dudes, elige la regla más simple que funcione, pero menciona también que hay otras soluciones.

Calcular diferencias

A veces ayuda encontrar diferencias entre los términos… muchas veces esto nos muestra una pauta escondida.
Aquí tienes un ejemplo sencillo:

Las diferencias siempre son 2, así que podemos adivinar que “2n” es parte de la respuesta.
Probamos 2n:

n:12345
Términos (xn):79111315
2n:246810
Error:55555

La última fila nos dice que siempre nos faltan 5, así que sumamos 5 y acertamos:

Regla: xn = 2n + 5

OK, podías haber calculado “2n+5” jugando un poco con los números, pero queremos un sistemaque funcione, para cuando las sucesiones sean complicadas.

Segundas diferencias

En la sucesión {1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, …} tenemos que calcular las diferencias…

… y después calcular las diferencias de esas diferencias (se llaman segundas diferencias), así:

En este caso las segundas diferencias son 1.

Con las segundas diferencias multiplicamos por “n2 / 2″.

En nuestro caso la diferencia es 1, así que probamos n2 / 2:

n:12345
Términos (xn):124711
n2:1491625
n2 / 2:0.524.5812.5
Error:0.50-0.5-1-1.5

Estamos cerca, pero nos estamos desviando en 0.5 cada vez más, así que probamos ahora: n2 / 2 – n/2

n2 / 2 – n/2:013610
Error:11111

Ahora nos sale 1 menos, así que sumamos 1:

n2 / 2 – n/2 + 1:124711
Error:00000

La fórmula n2 / 2 – n/2 + 1 se puede simplificar a n(n-1)/2 + 1
Así que, con “prueba y error” hemos conseguido descubrir la regla.
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, …

Otros tipos de sucesiones

Además de las que se explican en sucesiones y seriescache:

  • Sucesiones aritméticas
  • Sucesiones geométricas
  • Sucesión de Fibonacci
  • Sucesiones triangulares

 



Recomendaciones que ayudan con el estudio de este tema.

Créditos & citaciones.

Autor: Equipo de redacción, Manuelette Ramirez Bencosme.
Fecha de publicación: marzo 26, 2012.

Para citar este artículo en formato APA: