El desarrollo del conocimiento matemático va ligado a los avances tecnológicos de la humanidad. Esto hace necesario cálculos exactos en numerosas situaciones, y para operar con exactitud precisamos de los números irracionales, además de los racionales. La unión de ambos conjuntos forma el conjunto de los números reales.

Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponden con los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real. Según incluyan o no a los puntos extremos, los intervalos pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados.

Intervalos

Imagen: Representación en árabe de un intervalo  Representación en árabe de un intervalo
Un intervalo es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de un segmento de la recta real.
Imagen: Conjunto de númerosConjunto de números
El segmento coloreado de azul representa al intervalo de extremos -1 y 0, y el señalado con rojo, al intervalo de extremos 1 y 2.
Los puntos -0,5; -0,001; – 0 , 7 ︵ ; -0,12345… pertenecen al intervalo coloreado en azul. Es decir, pertenecen a este intervalo todos los números reales comprendidos entre -1 y 0.
Un intervalo puede contener a sus dos extremos, a uno solo o a ninguno.
  • Si los dos extremos del intervalo pertenecen al intervalo, se dice que es cerrado.
Imagen: Intervalo cerradoIntervalo cerrado
El intervalo cerrado [0, 2] contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluidos sus extremos, 0 y 2.
  • Si los extremos del intervalo no pertenecen a él, se dice que es abierto.
Imagen: Intervalo abiertoIntervalo abierto
El intervalo abierto (0, 2) contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, excluidos los extremos, 0 y 2.
  • Si el extremo menor del intervalo no pertenece al intervalo y el extremo mayor sí, se dice que es abierto por la izquierda y cerrado por la derecha.
Imagen: Intervalo semiabierto por la derechaIntervalo semiabierto por la derecha
El intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha (0, 2] contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluido el 2 y excluido el 0.
  • Si el extremo menor del intervalo pertenece al intervalo y el extremo mayor no, se dice que es cerrado por la izquierda y abierto por la derecha.
Imagen: Intervalo semiabierto por la izquierdaIntervalo semiabierto por la izquierda
El intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha [0, 2) contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluido el 0 y excluido el 2.
Semirrectas
Los intervalos también se pueden corresponder con los puntos de una semirrecta en la recta real. Las semirrectas pueden ser cerradas o abiertas.
Imagen: Semirrecta cerradaSemirrecta cerrada
La semirrecta (-∞, 2] contiene todos los puntos menores que 2, incluido éste.
Imagen: Semirrecta cerrada por la izquierdaSemirrecta cerrada por la izquierda
La semirrecta [0, ∞) contiene todos los puntos mayores que 0, incluido éste.
Imagen: Semirrecta abierta en 2Semirrecta abierta en 2
La semirrecta (-∞, 2) contiene todos los puntos menores que 2, excluido éste.
Imagen: Semirrecta abierta en 0Semirrecta abierta en 0
La semirrecta (0, ∞) contiene todos los puntos mayores que 0, excluido éste.ç
Potencias

-Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicación en la que todos los factores son iguales. La base es el factor que se repite, y el exponente, el número de veces que se repite.

Propiedades de las potencias

Las potencias cumplen una serie de reglas, independientemente del valor de la base y del exponente. Las siguientes propiedades se cumplen para cualesquiera números reales, a y b, de la base y para cualesquiera números enteros, m y n, del exponente.

Radicales

La operación inversa de la potenciación es la radicación. En ella, conocidos el resultado de la potencia y su exponente, hemos de calcular la base.
Reducción de radicales a índice común
Para reducir radicales a índice común: 1.o Se ponen como potencias de exponente fraccionario. 2.o Se reducen a común denominador los distintos exponentes. 3.o Se vuelven a poner en forma de radical. .

– Suma y resta de radicales
Decimos que dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice e igual radicando. Para sumar o restar radicales semejantes, se suman o restan los coeficientes y se mantiene el mismo radical.

– Producto y cociente de radicales
Para multiplicar o dividir radicales es necesario que tengan el mismo índice y, para ello, se mantiene el índice y se multiplican o dividen los radicandos. En general, …

– Potencia y raíz de radicales
Para calcular la potencia o la raíz de un radical se pone en forma de potencia de exponente fraccionario y, después, se siguen las mismas reglas que para operar con potencias. En general, …

– Extracción de factores del signo radical
Para extraer factores fuera del signo radical, podemos utilizar dos métodos:. Primer método. 1.o Descomponemos el radicando en factores primos, y aplicamos la propiedad del producto de radicales. …

– Introducción de factores en un radical
Para introducir un factor en un radical: 1.o Se escribe como la raíz del factor elevado al índice. …

– Jerarquía de las operaciones
Cuando aparecen operaciones combinadas, el orden que hay que seguir es: 1.o Los paréntesis. 2.o Las potencias y las raíces. 3.o Los productos y las divisiones. 4.o Las sumas y las restas. .

Racionalización

La racionalización consiste en transformar fracciones que tengan radicales en el denominador en otras equivalentes que no los tengan. Se distinguen dos tipos diferentes, según sea el denominador: denominadores con un radical y denominadores con un binomio.

Notación científica

En la actualidad se presentan multitud de situaciones en las que debemos trabajar con números muy grandes o pequeños. Por tanto, hay resultados de operaciones que la calculadora expresa en notación científica ya que el visor de la pantalla admite un número limitado de cifras.

Operaciones con números en notación científica

Una de las ventajas que tiene la notación científica es la sencillez con la que podemos realizar cálculos. Para operar con números escritos en notación científica basta con operar, por un lado, con los números que aparecen antes de la potencia de 10, y, por otro, con las potencias.

Aproximaciones y estimaciones

Aproximar un número consiste en sustituir su valor exacto por un número próximo a él. Cuando el valor aproximado es mayor que el real, la aproximación se llama por exceso, y cuando es menor, por defecto. Las aproximaciones pueden realizarse por redondeo o por truncamiento.

Errores en la aproximación

Al trabajar con números aproximados se comete un error que no debemos olvidar a la hora de evaluar los resultados obtenidos.



Recomendaciones que ayudan con el estudio de este tema.

Créditos & citaciones.

Autor: Equipo de redacción, Manuelette Ramirez Bencosme.
Fecha de publicación: marzo 26, 2012.

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