Objetivos

En este curso el estudiante recibe una introducción al cálculo diferencial en una variable. El objetivo de este curso es que el estudiante:
  • Aprenda a manipular correctamente los números, las funciones básicas y sus gráficas.
  • Adquiera una buena base de geometría analítica del plano.
  • Aprenda a resolver inecuaciones y trabajar con aproximaciones.
  • Comprenda las nociones de límite y continuidad. Calcule límites. Reconozca puntos de discontinuidad de una función.
  • Comprenda el concepto de deriva, su significado geométrico y físico y esté en capacidad de aplicarlo a la resolución de problemas.
  • Aprenda las reglas de derivación y sepa derivar funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus combinaciones y composiciones.
Trace gráficos precisos de funciones, sabiendo precisar sus características usando límites y derivadas.
Programa del Curso
El curso de Matemática I es una materia de carácter obligatorio que se dicta en el primersemestre de las Licenciaturas en Matemática, Física, Química, Biología, Computación y Geoquímica, es decir en todas las licenciaturas de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela. No presenta ningún requisito para poder ser inscrita ya que se ofrece en el primer semestre de todas estas licenciaturas. Este curso tiene un peso de 6 créditos en el pensum de estudios. Esta estructurado en cuatro (4) horas de teoría semanales y cuatro (4) horas de práctica semanales.
El curso esta estructurado siguiendo el plan de estudios:
Tema 1: Los números.
 Números naturales, enteros, racionales, reales. Propiedades básicas. Identificación del conjunto de los números reales con la recta. Relación de orden. Intervalos.
Tema 2: Curvas, fórmulas, funciones y gráficas.
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Pares ordenados y plano Cartesiano.
– Curvas que representan gráficas de funciones. Estudio descriptivo. Manipulaciones geométricas con las curvas. – Curva inversa y composición de curvas.
– Fórmulas y uso de la calculadora. Manipulaciones con fórmulas. Fórmulas inversas.
– Relación entre fórmulas y curvas.
Tema 3: Funciones básicas.
– Estudio y gráficos de algunas funciones:
1. Identidad, cuadrado, raíz cuadrada, potencial, raíz enésima.
2. Valor absoluto, parte entera.
3. Exponencial y logarítmica, logaritmo neperiano y logaritmo en base 10, cambio de base.
4. Funciones polinómicas y funciones racionales.
– Trigonometría: círculo trigonométrico, funciones trigonométricas, ángulos notables, fórmulas trigonométricas básicas, funciones trigonométricas inversas, representación gráfica.
– Representación gráfica de funciones que se pueden expresar como suma, producto o inversa numérica de las funciones básicas, en particular polinomios y algunas funciones racionales sencillas. Escala logarítmica y semilogarítmica.
– Estudio de la noción de ecuación y su interpretación en el cuadro funcional y gráfico.
– Funciones definidas mediante fórmulas. Dominio y rango de una función.
Tema 4: Geometría analítica plana.
– Estudio de las rectas, parábolas e hipérbolas como familia de curvas. Interpretación geométrica de los coeficientes (estudio detallado del binomio de segundo grado). Distancia entre dos puntos del plano. Circunferencia. Elipse. Distancia de un punto a una recta.
Tema 5: Inecuaciones y aproximaciones.
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Resolución de inecuaciones (método gráfico). Cálculo de soluciones de ecuaciones por aproximación. Errores. Cifras significativas.
Tema 6: Composición de funciones.
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Composición de funciones. Representación gráfica de funciones que se pueden expresar como composición de funciones básicas. En particular considerar: a·sen(bx+c)exp(-x2)exp(-kx),|f(x)|, etc.
Tema 7: Límites.
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Límites. Discusión intuitiva. Interpretación gráfica del concepto de límite. Límites laterales. Límites infinitos y límites en el infinito. Cálculo de límites de funciones definidas mediante fórmulas. Límites indeterminados sencillos.
Tema 8: Derivadas.
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Definición de derivada y su interpretación geométrica y física. Reglas de derivación y su justificación. Suma, resta, producto, cociente. “Regla de la cadena” y derivada de la función inversa. Cálculo de derivadas de funciones dadas por fórmulas.
– Derivadas de las funciones polinómicas, racionales, trigonométricas, exponenciales y logaritmicas.
– Uso de la derivada para hallar la tangente a una curva en un punto dado.
Tema 9: Continuidad.
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Noción de continuidad. Interpretación geométrica. Distintos tipos de discontinuidades.
Tema 10: Aplicaciones.
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Uso de los límites y la derivada para precisar aspectos de una curva. Cálculo de máximos y mínimos de una función. Trazado de gráfico de funciones.
– Aplicaciones a problemas de Matemática, Biología, Física y Química.
Bibliografía: Alson, Pedro. Métodos de graficación. Editorial ErroDeminovich, B. Problemas y ejercicios de Análisis Matemático. Editorial ParainfoEdwards, C. H. y Penney D. E. Geometría Analítica y Cálculo. Editorial Prentice Hall HispanoamericanaLeithold, L.Matemáticas previas al Cálculo. Editorial HarlaMiranda, Guillermo. Matemática I – Física. Fac. Ciencias. UCV. Swokowsky, E. W. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamericana.
Comentarios: 1. La última parte del curso, que corresponde con introducción al cálculo diferencial y aplicaciones, tiene como carácter introductorio. Este tema será mejor estudiado con mayor profundidad en el curso Matemática II. 2. Los libros: Calculos de M. Spivack (editorial Reverté) y Calculus Vol. I de T. Apostol (editorial Reverté) son excelentes pero se encuentran por encima del nivel de este curso. Sin embargo, es deseable incentivar a los estudiantes para que comiencen a iniciarse en este tipo de literatura.
Libro de Apoyo a Docentes
Plantear el uso activo de un libro, que incluya su presencia tanto en las clases de teoría como en las de práctica, es un objetivo ambicioso en una sociedad que tiene muy poca experiencia en ello. Exige un esfuerzo orientador considerable.
FUNCIÓN DE APOYO AL DOCENTE.
“Apoyo para profesores que utilizan Métodos de Graficación” cumple una función evidente e inmediata de orientar al profesor aislado, u orientar y unificar el trabajo de un grupo de docentes, con la intención de facilitar el uso activo de ” Métodos de Graficación”.
Profesor Pedro Alson



Recomendaciones que ayudan con el estudio de este tema.

Créditos & citaciones.

Autor: Equipo de redacción, Manuelette Ramirez Bencosme.
Fecha de publicación: Marzo 26, 2012.

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