Ejemplo 1.1 (Resolviendo inecuaciones)Hallar el conjunto solucion de las siguientes desigualdades
a)  2x  3 < 5                b)  3  2x < 5
Solucion. a)  Operando,  como  si  se  tratara  de  una  ecuacion,  resulta:
2x  3 < 5  2x < 5 + 3  x < 28  x < 2 Por tanto, el conjunto soluci´on es el intervalo (−∞, 2).
b) En este caso operamos de la misma manera, pero al dividir por -2 inver-timos el sentido de la desigualdad. As´ı,
2
 2x < 5  2x < 5  3  x > 2  x > 1 Luego el conjunto soluci´on es el intervalo (1, +).
Ejemplo 1.2 (Resolviendo sistemas de inecuaciones)Hallar el conjunto soluci´on del siguiente sistema de desigualdades
2x + 1
≥ 1
3x  7
≤ 2
Soluci´on. Se trata de hallar la intersecci´on de los conjuntos soluci´on de cada una de las desigualdades. Para ello, resolvemos ambas inecuaciones por separado y luego hallamos la intersecci´on
2x + 1
≥ 1
2x   1
2x  2
 1
3x  7
≤ 2        3x ≤ 2 + 7        3x ≤ 9        x ≤ 3      
Luego  el  intervalo  soluci´on  es  [1, 3]

 

Ejemplo 1.3 (Resolviendo inecuaciones dobles)Hallar el conjunto soluci´on del siguiente sistema de desigualdades
2
− 3x ≥ −1
2
− 3x ≤ 11
Soluci´on. Podemos resolver cada inecuaci´on por separado, o bien, utilizar el hecho de que la expresi´on 2  3xaparece en ambas inecuaciones y trabajar conjuntamente. As´ı,
 3x ≥ −1
 3x  11   1  2  3x  11 restando 2 en los tres miembros, resulta
3 ≤ −3x ≤ 9
y  dividiendo  por  -3
 x ≥ −3 Luego el conjunto soluci´on es el intervalo [3, 1].
Ejemplo 1.4 (Resolviendo inecuaciones cuadr´aticas)Hallar el conjunto soluci´on de la inecuaci´on x2 < 6x − 8
Soluci´on. El camino m´as f´acil para resolver estas inecuaciones es dejar sola-mente cero en el segundo miembro. As´ı,
x2  − 6+ 8 < 0
hallamos  las  ra´ıces  del  polinomio  p(x) = x2   6x + 8,
± 2
x2
6x + 8 = 0
=  6 ±   36  32 =
= Í 4
2
2
2
Teniendo en cuenta que un polinomio cambia de signo s´olo en sus ceros 1, podemos resolver la desigualdad probando el signo del polinomio en cada uno de los intervalos
x < 2,        2 < x < 4,         x > 4
que puede hacerse eligiendo un punto cualquiera en cada uno de los intervalos y viendo el valor del polinomio en ese punto (puesto que en todo el intervalo el polinomio conserva el signo). As´ı,
p(0) = +8 > 0,     p(3) = 9 −18 + 8 = −1 < 0,     p(5) = 25 −30 + 8 = +3 > 0
Como la desigualdad se cumple s´olo en el intervalo central, se concluye que el conjunto soluci´on es
< x < 4     es  decir,  el  intervalo  (2, 4)
Ejemplo 1.5 (Resolviendo inecuaciones racionales)Hallar el conjunto solu-ci´on de la desigualdad
x − 2  < 2
x − 4
Soluci´on. Dejamos  cero  en  el  segundo  miembro,  y  operamos
x − 2  <2
x − 2
< 0
x − 2 − 2+ 8  <0
 x  <0
x − 4
  x − 4 
x − 4
  x − 4
Consideramos  la  funci´on  racional
r(x) =  6  x
x − 4
Y teniendo en cuenta que una funci´on racional puede cambiar de signo tanto en los ceros del numerador como en los ceros del denominador, resulta que la funci´on puede cambiar de signo en los puntos: x = 4 y x = 6. Luego podemos resolver la desigualdad comprobando el signo de la funci´on racional en cada uno de los intervalos
x < 4,        4 < x < 6,         x > 6
que puede hacerse eligiendo un punto cualquiera en cada uno de los intervalos y viendo el valor de la funci´on en ese punto. As´ı,
r(0) =  64  < 0,        r(5) =  11  > 0,        r(7) =  31  < 0
Como la desigualdad se cumple s´olo en los dos intervalos de los extremos, se concluye que el conjunto soluci´on es
x < 4   o´   x > 6,  es  decir,  la  uni´on  de  los  intervalos  (−∞, 4)  (6+)
Ejemplo 1.6 (Resolviendo inecuaciones racionales mediante la consideraci´on sucesiva de distintos casos). Hallar el conjunto soluci´on de la desigualdad
2x  3
<  1
(x =
3)
+ 3
2
 −
Soluci´on. Puesto que no sabemos de antemano si x+3 es positivo o negativo, no podemos multiplicar, ambos miembros de la desigualdad, por x + 3, ya que no sabemos si ha de mantenerse el sentido de la desigualdad o si ha de cambiarse. Para ello, consideramos sucesivamente los dos casos siguientes:
a)  + 3 > 0
b)  + 3 < 0

 

a) Consideremos el caso x + 3 > 0. Al ser x + 3 positivo podemos multiplicar ambos miembros de la desigualdad por x + 3, manteniendo el sentido de la misma. Co lo que resulta,

 

+ 3 > 0
2x  3 < 1 + 3 2
x > −3
4x  6 < x + 3  3x < 9  x < 3  ₃  3 < x < 3
₃Ĵ₄

 

b) Consideremos ahora el caso x+3 < 0. Al ser x+3 negativo para multiplicar ambos miembros de la desigualdad por x + 3, tenemos que invertir el sentido de la misma. Co lo que resulta,
+ 3 < 0
x < −3
2x
3
1
<
4x     6 > x + 33x > 9x > 3  
+ 3
2
₃Ĵ₄
que no tiene soluci´on, puesto que ning´un n´umero x es, a la vez, x < 3 y x > 3.
En consecuencia se concluye que el conjunto soluci´on es: 3 < x < 3es decir, el intervalo (33).



Recomendaciones que ayudan con el estudio de este tema.

Créditos & citaciones.

Autor: Equipo de redacción, Manuelette Ramirez Bencosme.
Fecha de publicación: Marzo 26, 2012.

Para citar este artículo en formato APA: